（Ⅰ）fn′(x)＝
| ln(x+n)+n+1 |
| (x+n)2 |
令fn′（x）＞0，则x＜en+1-n．
∴fn（x）在（-n，en+1-n）上递增，在（en+1-n，+∞）上递减．（4分）
∴当x=en+1-n时，fn(x)max＝fn(en+1n)＝
| 1 |
| en+1 |
| 1 |
| n(n+1) |
即an＝
| 1 |
| en+1 |
| 1 |
| n(n+1) |
则Sn＝
| en1 |
| en+2en+1 |
| n |
| n+1 |
（Ⅱ）∵n≥1，∴en+1递增，n（n+1）递增，
∴an＝
| 1 |
| en+1 |
| 1 |
| n(n+1) |
∴0＜an≤a1＝
| 1 |
| e2 |
| 1 |
| 2 |
即an∈(0，
| 1 |
| e2 |
| 1 |
| 2 |
令g(x)＝
| x |
| ex1 |
| 1x |
| ex1 |
∴g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．
当x→0时，
| x |
| ex1 |
当x→+∞时，
| x |
| ex1 |
又g（1）=1+a，
∴g（x）∈（a，1+a]（10分）
由已知得，（a，1+a](0，
| 1 |
| e2 |
| 1 |
| 2 |
∴
1
(1)P=M∩N={x|-2<x<3}
(2)画个数轴 Q={x|x≥a}
所以 a≤-2
（3）a=0
(4)a ≥3
2 f(x)=(x-a1)²+（x-a2)²+…+（x-an)²，展开
=nx²-(2a1+2a2++2an)x+(a1^2+a2^2++an^2)
这个是二次函数，当x=(a1+a2++an)/n时，函数有最小值
当x==(a1+a2++an)/n=__时，函数f(x)=(x-a1)²+（x-a2)²+…+（x-an)²取得最小值
有且只有一个零点就是图像的顶点纵坐标为0，
(4a-a²)/4=0, a＞0所以 a=4,
Sn=(n-2)², n=1时，a1=S1=1, n=2时,a2=-1,
an=Sn-S(n-1)=(n-2)²-(n-3)²=2n-5,
n=1时，a1=1,
n≥2时，an=2n-5
bn=an/3^n=(2n-5)/3^n,
b1=1/3，
b2=-1/3²,
b3=1/3³,
b4=3/3^4,
bn=(2n-5)/3^n,
Tn=1/3 -1/3² +1/3³ +3/3^4++ (2n-7)/3^(n-1) + (2n-5)/3^n，
3Tn=1 -1/3+ 1/3² +3/3³ +5/3^4++(2n-5)/3^(n-1),
相减得2Tn=1 -1/3 -1/3 +2/3² +2/3³ +2/3^4++2/3^(n-1) -(2n-5)/3^n
=-1/3 +2{1/3+1/3²+1/3³++1/3^(n-1)} -(2n-5)/3^n
=-1/3+(1-1/3^(n-1)) -(2n-5)/3^n
Tn=1/3 -1/3^(n-1) -(2n-5)/3^n
a(n+1)=[f(√an)]^2,
a(n+1)=[√an/(√an+1)] ^2
则√a(n+1)=√an/(√an+1)
1/√a(n+1)= (√an+1)/√an
即1/√a(n+1)=1+1/√an，
所以数列{1/√an }是等差数列，所以1/√an=1+(n-1)1,
1/√an=n,an=1/n^2
1、
a1=f(x)=x/√(1+x²)
a2=f(a1)=[x/√(1+x²)]/√[1+x²/(1+x²)]=[x/√(1+x²)]/[√(2x²+1)/√(1+x²)]=x/√(2x²+1)
a3=f(a2)=[x/√(1+2x²)]/√[1+x²/(1+2x²)]=[x/√(1+2x²)]/[√(3x²+1)/√(1+2x²)]=x/√(3x²+1)
a4=f(a3)=[x/√(1+3x²)]/√[1+x²/(1+3x²)]=[x/√(1+3x²)]/[√(4x²+1)/√(1+3x²)]=x/√(4x²+1)
2、
猜想：an=x/√(nx²+1)
证：
由(1)得，n=1时，a1=x/√(1+x²)，表达式成立。
假设当n=k(k∈N+)时，表达式成立，即ak=x/√(kx²+1)，则当n=k+1时，
a(k+1)=f(ak)=[x/√(1+kx²)]/√[1+x²/(1+kx²)]=[x/√(1+kx²)]/[√((k+1)x²+1)/√(1+kx²)]=x/√[(k+1)x²+1]，表达式同样成立。
综上，得数列{an}的通项公式为an=x/√(nx²+1)。
1、10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：n的最小值为6．
2、已知△ 中， 是锐角．从顶点 向 边或其延长线作垂线，垂足为 ；从顶点 向 边或其延长线作垂线，垂足为 ．当 和 均为正整数时，△ 是什么三角形？并证明你的结论．
3、1/a+1/b=1/a+b,求b/a+a/b的值
2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛模拟试题
（本卷满分120分，考试时间120分钟，允许使用科学计算器。）
一、选择题（共8小题，每小题5分，计40分。每小题都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中有且只有一个正确，请将它前面的代号填入题后的括号内，多选、少选、不选皆不得分。）
1．关于x的方程ax2+bx+c=0的根为2和3，则方程ax2－bx－c=0的根为（ ）
A －2，－3 B －6，1 C2，－3 D －1，6
2．已知动点P在边长为2的正方形ABCD的边上沿着A－B－C－D匀速运动，x表示点P由A点出发所经过的路程，y表示△APD的面积，则y和x之间函数关系的图像大致为 （ ）
A B C D
3．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若所得的和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。那么，所有的三位数中，“奇和数”有多少个？ （ ）
A200 B120 C160 D100
4．设a、b、c均为正数，若 ，则a、b、c三个数的大小关系是 （ ）Ac<a<b Bb<c<a Ca<b<c Dc<b<a
5．三角形的三内角A、B、C的对边长分别是a、 b、 c(a、 b、 c都是素数)，且满足a＋b＋c＝16，又设∠A是最小内角。则cosA的值是（ ）
A B C D条件不足，无法计算
6．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割．在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近 ，就越给别人一种美的感觉．如果某女士身高为 ，躯干与身高的比为 ，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为 （ ）
A． B． C． D．
7．如图2，一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是（ ）。
A． cm2 B。 cm2
C． cm2 D cm2
8．将抛物线y=2x2-12x+22绕点（5，2）旋转1800
后得到的新抛物线与坐标轴的交点个数是
（ ）
A 3 B 2 C 1 D0
二、填空题（共6小题，每小题5分，计30分。）
9．已知两圆的圆心分别在（2，0）、（0，2），半径都是2。则两圆公共部分的面积是
10．如果三位数 满足a＜b＜c或a＞b＞c，则称这个三位数为“严格排序三位数”。那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“严格排序三位数”的概率是
11．若 为 （n是任意正整数）的各位数字之和，如 ， ，则 ；记 ， ，…， ，k是正整数，则
12．已知三个正整数x，y，z的最小公倍数是300，并且满足 ，则此方程组的解（x，y，z）= 。
13．如果一个圆的直径和它的一条弦长分别为a、b，且这条弦的弦心距是正有理数，又已知a、b都是两位正整数，它们的十位数字和个位数字刚好互换位置。则a2+b2 的值是 。
14．抛物线y=n(n+1)x2－(3n+1)x+3与直线y=－nx+2的两个交点的横坐标分别是x1、x2，记dn=∣x1－x2 ∣则代数式d1+d2+d3+……+d2009的值是 。
三、解答题（共4小题，第15、16、17题每题12分，第18题14分，计50分。）
15．已知a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7这七个实数满足下列三个方程：
⑴a1+4a2+9a3+16a4+25a5+36a6+49a7=2008，
⑵4a1+9a2+16a3+25a4+36a5+49a6+64a7=208，
⑶9a1+16a2+25a3+36a4+49a5+64a6+81a7=28。试求下列代数式的值：
16a1+25a2+36a3+49a4+64a5+81a6+100a7。
16请你利用直角坐标平面上任意两点(x1,y1)、(x2,y2)间的距离公式 解答下列问题：
已知：反比例函数 与正比例函数 的图象交于A、B两点（A在第一象限）, 点F1（-2，-2）、F2（2，2）在直线 上。设点P（x0,y0）是反比例函数 图象上的任意一点，记点P与F1、F2两点的距离之差d=｜P F1- P F2｜试比较线段AB的长度与d的大小，并由此归纳出双曲线的一个重要定义（用简练的语言表述）。
17．△ABC 的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，G是EF上的一点，且 DG⊥EF，求证：DG平分∠BGC．
18．观察下列图形：
① ② ③
如果按这个规律一直排到第n个图形，请探究下列问题：
⑴设第n个图形和第n－1个图形中所有三角形的个数分别为an、an-1，问：它们之间有什么数量关系？请写出这个关系式。
⑵请你用含n的代数式来表示an，并证明你的结论。
2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛模拟试题
参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题5分，计40分。每小题的答案中有且只有一个正确，多选、少选、不选皆不得分。）
1．关于x的方程ax2+bx+c=0的根为2和3，则方程ax2－bx－c=0的根是
（ B ）
A －2，－3 B －6，1 C2，－3 D －1，6
2．已知动点P在边长为2的正方形ABCD的边上沿着A－B－C－D匀速运动，x表示点P由A点出发所经过的路程，y表示△APD的面积，则y和x之间函数关系的图像大致为 （ A ）
A B C D
3．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若所得的和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。那么，所有的三位数中，“奇和数”有多少个？ （ D ）
A200 B120 C160 D100
4．设a、b、c均为正数，若 ，则a、b、c三个数的大小关系是 （ A ）Ac<a<b Bb<c<a Ca<b<c Dc<b<a
5．三角形的三内角A、B、C的对边长分别是a、 b、 c(a、 b、 c都是素数)，且满足a＋b＋c＝16，又设∠A是最小内角。则cosA的值是（ C ）
A B C D条件不足，无法计算
6．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割．在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近 ，就越给别人一种美的感觉．如果某女士身高为 ，躯干与身高的比为 ，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为 （ C ）
A． B． C． D．
7．如图2，一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是（ D ）。
A． cm2 B。 cm2
C． cm2 D cm2
8．将抛物线y=2x2-12x+22绕点（5，2）旋转1800
后得到的新抛物线与坐标轴的交点个数是
（ B ）
A 3 B 2 C 1 D0
二、填空题（共6小题，每小题5分，计30分。每小题应填的正确答案唯一，多填则不给分；分数未约分或化成小数都给分。）
9．已知两圆的圆心分别在（2，0）、（0，2），半径都是2。则两圆公共部分的面积是
10．如果三位数 满足a＜b＜c或a＞b＞c，则称这个三位数为“严格排序三位数”。那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“严格排序三位数”的概率是
11．若 为 （n是任意正整数）的各位数字之和，如 ， ，则 ；记 ， ，…， ，k是正整数，则 11
12．已知三个正整数x，y，z的最小公倍数是300，并且满足 ，则此方程组的解（x，y，z）= (20，60，100) 。
13．如果一个圆的直径和它的一条弦长分别为a、b，且这条弦的弦心距是正有理数，又已知a、b都是两位正整数，它们的十位数字和个位数字刚好互换位置。则a2+b2 的值是 7361 。
14．抛物线y=n(n+1)x2－(3n+1)x+3与直线y=－nx+2的两个交点的横坐标分别是x1、x2，记dn=∣x1－x2 ∣则代数式d1+d2+d3+……+d2009的值是 。
三、解答题（共4小题，第15、16、17题每题12分，第18题14分，计50分。每题的得分严格按评分标准给分，不要再分步给中间分；另外的解法也同样按此标准给分。）
15．已知a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7这七个实数满足下列三个方程：
⑴a1+4a2+9a3+16a4+25a5+36a6+49a7=2008，
⑵4a1+9a2+16a3+25a4+36a5+49a6+64a7=208，
⑶9a1+16a2+25a3+36a4+49a5+64a6+81a7=28。试求下列代数式的值：
16a1+25a2+36a3+49a4+64a5+81a6+100a7。
解：观察⑴⑵⑶式及所求代数式中a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7这七个未知数前面的系数，可以发现每个未知数前面的四个系数依次是n2 、(n+1)2、(n+2)2、(n+3)2，而这四个数之间有下列关系： n2-3(n+1)2+3(n+2)2=(n+3)2 （6分）
∴所求代数式的值=⑴-3⑵+3⑶=2008-3×208+3×28=1468
（6分）
16请你利用直角坐标平面上任意两点(x1,y1)、(x2,y2)间的距离公式 解答下列问题：
已知：反比例函数 与正比例函数 的图象交于A、B两点（A在第一象限）, 点F1（-2，-2）、F2（2，2）在直线 上。设点P（x0,y0）是反比例函数 图象上的任意一点，记点P与F1、F2两点的距离之差d=｜P F1- P F2｜试比较线段AB的长度与d的大小，并由此归纳出双曲线的一个重要定义（用简练的语言表述）。
解：解由 和 组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为
（ ， ）、（ ， ），线段AB的长度=4 （2分）
∵点P（x0,y0）是反比例函数 图象上一点，∴ y0=
∴P F1= = =∣ ∣，
P F2= = =∣ ∣，（3分）
∴d=｜P F1- P F2｜=∣∣ ∣-∣ ∣∣，
当x0＞0时，d=4；当x0＜0时，d=4。 （3分）
因此，无论点P的位置如何，线段AB的长度与d一定相等。（2分）
由此可知：到两个定点的距离之差（取正值）是定值的点的集合（轨迹）是双曲线。（意思对即可，不强求表达的严密性。） （2分）
17．△ABC 的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，G是EF上的一点，且 DG⊥EF，求证：DG平分∠BGC．
证明：连结DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连结BN、CK．则：
Rt△BFN∽Rt△DEG， (2分)
Rt△CEK∽Rt△DFG， （2分）
∴BF•GE= DF•DE=CE•FG （4分）
∴ ，而∠BFG=∠CEG （2分）
∴△BFG∽△CEG，于是∠BGF=∠CGE．∵DG⊥EF, ∴∠BGD=∠CGD
即DG平分∠BGC． （2分）
18．观察下列图形：
① ② ③
如果按这个规律一直排到第n个图形，请探究下列问题：
⑴设第n个图形和第n－1个图形中所有三角形的个数分别为an、an-1，问：它们之间有什么数量关系？请写出这个关系式。
⑵请你用含n的代数式来表示an，并证明你的结论。
解：⑴按题中图形的排列规律可得：an=3an-1+2 （3分）
⑵由⑴得：an=3an-1+2 ，an-1=3an-2+2 ,两式相减得：
an-an-1=3（an-1-an-2）① （3分）
当n分别取3、4、5、…、n时，由①式可得下列（n-2）个等式：
a3-a2=3（a2-a1）, a4-a3=3（a3-a2）, a5-a4=3（a4-a3）,…,
an-an-1=3（an-1-an-2） （2分）
显然an-an-1≠0，以上（n-2）个等式的左右两边分别相乘约去相同的项后得：an-an-1=3n-2(a2-a1) ② （3分）
∵ a2-a1=17-5=12,由⑴又可知an-1= （an-2），将它们代入②式即得：an=2×3n-1 （3分）
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