关于刚体的平面运动介绍

[拼音]：gangti de pingmian yundong

[外文]：plane motion of rigid body

在运动中刚体上任一点和某一固定平面的距离保持不变。如图1中的刚体A作平行于固定平面I的平行运动。在这种运动中，刚体上每一条垂直于固定平面的直线(如匘)上的各点都作相同的运动，如果作一个和平面Ⅰ平行的固定平面Ⅱ， 并且它在刚体A上截出一平面图形S，则刚体的平面运动即归结为平面图形S在固定平面Ⅱ中的运动。在工程技术中，刚体的平面运动是常见的一种运动形式，如沿直线轨道滚动的车轮;曲柄连杆机构中的连杆等。

作平面运动的刚体有三个自由度。在平面图形S上任取一点C作为基点(图2)，则刚体的运动方程为rσ＝rσ(t)，θ＝θ(t)式中rσ是C点对于平面Ⅱ 上的坐标原点的矢径;θ是平面图形S上的任一确定直线吶同平面Ⅱ上的直线(如x 轴)之间的夹角。

平面图形S（图2）在定平面Ⅱ中的运动可以分解成随基点的平动和绕基点的转动。因此，平面图形上任一点D的速度矢量为

式中为基点的速度矢量；ω为由于 θ的变化而引起的平面图形的角速度矢量。角速度同基点的选择无关。平面图形上任一点D的加速度矢量为

式中为基点的加速度矢量；为平面图形的角加速度矢量。

根据欧拉转动定律，平面图形在固定平面中的任一有限位移总可以用对某一中心作一次转动达到。因而平面图形在任一瞬时的运动可看成为绕某一中心以某一角速度作瞬时转动，此中心称为平面图形的瞬时转动中心。因该点的瞬时速度为零，故又称为瞬时速度中心或简称瞬心。例如，沿着直线轨道作无滑动的滚动车轮，它同地面的接触点即为瞬心。应用瞬心求图形上任一点的速度的方法称为瞬心法，为此需要确定瞬心的位置。当已知基点的速度矢量vσ和刚体的角速度矢量ω时，瞬心C┡可由公式确定。通常用几何法来确定瞬心的位置。在刚体上任取两点E、E┡，过此两点分别作速度矢量vE、vE'的垂线，有以下几种情况（图3）。

（1）两垂线相交则交点C┡即为瞬心(图3a)；

（2）两垂线重合则连接矢量vE和 vE'的末端作直线和公垂线相交，交点C┡即为瞬心（图3b和3c）；

（3）如两垂线既不相交也不重合(图3d)，或在②中的两直线平行(图3e)，则平面图形作瞬时平动，瞬心在无穷远处。确定瞬心后，平面图形上任一点D的速度矢量可表示为。

平面图形在定平面上运动时，瞬心的位置不断变化，瞬心在平面图形上的轨迹称为动瞬心轨迹；瞬心在定平面上的轨迹称为定瞬心轨迹。平面图形的运动可看成动瞬心轨迹在定瞬心轨迹上作无滑动的滚动。例如，车轮在直线轨道上作无滑动的滚动时，车轮的外圆周为动瞬心轨迹，轨道为定瞬心轨迹。

刚体平面运动的动力学方程为mαα=R，Iσα＝Mσ，或写成微分形式，式中ασ为质心的加速度；Iσ为刚体对于过质心并垂直于固定平面的轴的转动惯量；Mσ为作用在刚体上的外力系对此轴的合力矩;α为角加速度矢量α<在该轴上的投影;m为刚体的质量；R为作用在刚体上的外力系的主矢量。

刚体作平面运动时，其动能，式中vσ为质心的速度的大小。刚体的动量为mvσ，对过质心且垂直于固定平面的轴的角动量为。