齐次微分方程的齐次什么意思

齐次（homogeneous）”是指代数式中所有的项都是同次的。在中学里我们可以用这个概念把任意一个代数式归类为“齐次”或者“非齐次”，但是这个概念在微分方程这里并不适用。我学高数时也难以理解“齐次”是什么意思，直到我寻找了它英文的解释。

从语言源头来看，“齐次”是对“homogeneous”的翻译，词义为：同种类的;同性质的;由相同成分（或部分）组成的。国外的数学家把它用在 “differential equation”之前应是来表示方程结构比较规整，容易得到解。“齐次微分方程”唯一的修饰词“齐次”代表其区别于其他微分方程的性质，而这个性质是源于结构而非源于次数，我们删去次数的概念照样可以掌握这类方程的性质。这在定义中已有体现。

齐次微分方程的各类定义：

（1）如果一阶微分方程可化成：y'=f(y/x)的形式，那么就称这方程称为“齐次（微分）方程”。

（2）如果一阶线性微分方程y' +P(x)y=Q(x)中Q(x)恒为0（即y' +P(x)y=0），则此方程称为齐次的；如果Q(x)不恒为0，则此方程称为非齐次的。

（3）如果n阶线性微分方程y（n）+ A1(x) y（n-1)+…+ An-1(x) y'+An(x) y=F(x) 中F(x) 恒为0，则此方程是“n阶齐次线性（微分）方程”；如果F(x) 不恒为0，则此方程是“n阶非齐次线性（微分）方程”。

多项式中“homogeneous”的翻译引申为“齐次”确实很合适，但微分方程中“homogeneous”继续翻译为“齐次”就很牵强，“齐次方程”不如“齐型方程”更能体现这种微分方程的特点（没有别的特点，唯一的特点就是好解）。你回看教材，会发现微分方程这部分都是挑出特殊类型的微分方程来讲其解法，毕竟多数微分方程难以解析。