求数列{n!n^n}的极限

n!/n^n>0

n!/n^n≤[(1/n+2/n++n/n)/n]^n=(1+1/n)^n/2^n

上式用了均值不等式

显然能用挤夹原理证明这个极限为0

对n≥3时,n!/n^n<1/n是对的，没注意到这么简单。

Γ(x)称为伽玛函数，它是用一个积分式定义的，不是初等函数。

伽马函数有性质：Γ(x+1)=xΓ(x)，Γ(0)=1，Γ(1/2)=√π，对正整数n，有Γ(n+1)=n！

阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

扩展资料：

通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质：Γ(x+1)=xΓ(x)于是很容易证明，伽马函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓。

在概率统计和其他应用学科中会经常用到伽玛函数和贝塔函数，有的反常积分的计算最后也会归结为贝塔函数或伽玛函数。

当P>0且Q>0时贝塔函数收敛。贝塔函数具有很好的性质，以及实用的递推公式，另外需要注意的是伽玛函数和贝塔函数之间的关系。

——伽玛函数

γ(x)称为伽马函数，它是用一个积分式定义的，不是初等函数。

伽马函数有性质：γ(x+1)=xγ(x)，γ(0)=1，γ(1/2)=√π，对正整数n，有γ(n+1)=n！

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伽马函数(1/2)的值可以根据余元公式算出，余元公式的定义是对0-1之间的数，有，将1/2代入得到伽玛函数（1/2）的值是Π^(1/2)。

利用伽马函数Γ(n)=(n-1)Γ(n-1)=(n-1)!，及Γ(1/2)=√π，有Γ(1/2+n)=Γ[(n-1+1/2)+1]=[(2n-1)/2]Γ(n-1/2)=…=[(2n-1)/2]][(2n-3)/2]…(1/2)Γ(1/2)=[(2n-1)(2n-3)^(1)/2^n]Γ(1/2)=[√π/2^n](2n-1)!!。其中，“(2n-1)!!”表示自然数中连续奇数的连乘积。

该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

扩展资料：

伽玛函数的对数的导数称为Digamma函数  ，记为 。

Digamma函数同调和级数相关，其中，其中是欧拉常数。

而对于任意x有，在复数范围内，Digamma函数可以写成

而Digamma函数的泰勒展开式为

其中函数  为黎曼zeta函数，是关于黎曼猜想的一个重要函数。

类似伽玛函数，Digamma函数可以有渐进式：