算法学习笔记3：约瑟夫环及其解法

约瑟夫环及其解法

• • 约瑟夫环问题
  • 解法
  • • 模拟
    • 数学
  • 数学解法代码实现
  • • C++
    • Java
    • Python

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约瑟夫环问题

约瑟夫环讲的是n个人围成1圈，第一个人从1开始报数，报到k的人将被杀掉，并从被杀掉的人的下一个人开始重新开始报数，直到只剩最后一个人，求最后留下的人的编号。
假定有ABCDE5个人，报到3的人将被杀掉。则从A开始，报1，C为3，则C被杀掉，D报1，A为3，则A被杀掉，B报1，D为3，则D被杀掉，E报1，则E最终报3，被杀掉，所以最后剩下的B为胜利者。

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解法 模拟

可以使用循环链表，也可以使用队列解决。将n个人编号为1-n。

• 链表解法中，定义一个数组vis用于存放每个人是否存活，当vis[idx] = true时，则编号为idx的人已死亡。每次都从当前位置cur出发，找到第k个未被杀掉的人vis[idx] = false，将其标记为true。总共使n-1个值变为true就结束。
• 队列解法中，将所有人按顺序入队，队首元素即为第1个人的编号。每轮游戏中，从当前位置开始数k个人，数到的第k个人被杀掉。模拟的做法就是，将队首元素取出在队尾重新入队，重复 *** 作k-1次，在k-1次 *** 作后，队首元素即为这一轮中数到的第k个人，出队，结束当前轮，并开始下一轮 *** 作。直到队列中只有1个元素，则该元素即为最后剩下的人。

数学

第一轮删掉第k个人，问题就变为n-1个人进行这个游戏。假设知道f(n-1, k)最终剩下的人的编号，由于删除第k个人，n-1个人的游戏从原来第k+1个人开始的，即原来的编号和新的编号有一个偏差k。以坐标从0到n-1来看，则有公式
f ( n , k ) = ( f ( n − 1 , k ) + k ) % n f(n, k) = (f(n-1, k) + k) \% n f(n,k)=(f(n−1,k)+k)%n
当只剩一个人，则必然存活。即f(1, k) = 0。从f(1, k)推导出f(2, k)直到f(n, k)即可。

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数学解法代码实现 C++

int func(unsigned int n, unsigned int k) {
	if (n < 1 || k < 1) {
		return -1;
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		ans = (ans + k) % i;
	}
	return ans+1;
}

Java

public int func(int n, int k) {
	if (n < 1 || k < 1) {
		return -1;
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		ans = (ans + k) % i;
	}
	return ans+1;
}

Python

def func(int n, int k):
	if n < 1 or k < 1:
		return -1
	ans = 0
	for i in range(2, n+1):
		ans = (ans + k) % i
	return ans+1