导函数，大题，求全过程，谢谢

（1）解：因为f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1．（1分）

因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3，

所以f'（e）=3，即a+lne+1=3．

所以a=1．（2分）

（2）解：由（1）知，f（x）=x+xlnx，

所以k＜

f(x)

x1

对任意x＞1恒成立，即k＜

x+xlnx

x1

对任意x＞1恒成立．（3分）

令g(x)＝

x+xlnx

x1

，

则g′(x)＝

xlnx2

(x1)2

，（4分）

令h（x）=x-lnx-2（x＞1），

则h′(x)＝1

1

x

＝

x1

x

＞0，

所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．（5分）

因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，

所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．

当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，（6分）

所以函数g(x)＝

x+xlnx

x1

在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．

所以[g(x)]min＝g(x0)＝

x0(1+lnx0)

x01

＝

x0(1+x02)

x01

＝x0∈(3，4)．（7分）

所以k＜[g（x）]min=x0∈（3，4）．

故整数k的最大值是3．（8分）

（3）证明：由（2）知，g(x)＝

x+xlnx

x1

是[4，+∞）上的增函数，（9分）

所以当n＞m≥4时，

n+nlnn

n1

＞

m+mlnm

m1

．（10分）

即n（m-1）（1+lnn）＞m（n-1）（1+lnm）．

整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+（n-m）．（11分）

因为n＞m，所以mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．（12分）

即lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn．

即ln（nmnmm）＞ln（mmnnn）．（13分）

所以（mnn）m＞（nmm）n．（14分）

证明2：构造函数f（x）=mxlnx+mlnm-mxlnm-xlnx，（9分）

则f'（x）=（m-1）lnx+m-1-mlnm．（10分）

因为x＞m≥4，所以f'（x）＞（m-1）lnm+m-1-mlnm=m-1-lnm＞0．

所以函数f（x）在[m，+∞）上单调递增．（11分）

因为n＞m，所以f（n）＞f（m）．

所以mnlnn+mlnm-mnlnm-nlnn＞m2lnm+mlnm-m2lnm-mlnm=0．（12分）

即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．

即lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn．

即ln（nmnmm）＞ln（mmnnn）．（13分）

所以（mnn）m＞（nmm）n．（14分）

在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。我们先以二元函数为例：

多元复合函数的求导公式

链导公式：

设均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数,

那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：

例题：求函数的一阶偏导数

解答：令

由于

而

由链导公式可得：

其中

上述公式可以推广到多元，在此不详述。

一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。

全导数

由二元函数z=f(u,v)和两个一元函数复合起来的函数是x的一元函数.

这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数,称为全导数.

此时的链导公式为:

例题：设z=u2v，u=cosx，v=sinx，求

解答：由全导数的链导公式得：

将u=cosx，v=sinx代入上式，得：

关于全导数的问题

全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。

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