两向量共线说明什么?有怎样的性质?

两向量共线说明什么?有怎样的性质?,第1张

共线向量也就是平行向量,方向相同或相反的非零向量叫平行向量,表示为a∥b ,任意一组平行向量都可移到同一直线上,所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0,那么向量b与a共线的充要条件是:存在唯一实数λ,使得 b=λa。

性质:若a=(x,y),b=(m,n),则a//b→a×b=xn-ym=0

扩展资料

两个向量a、b共线的充要条件是:存在不全为零的实数λ、μ,使得 λa+μb=0。

证明:

1、充分性,不妨设μ≠0,则由 λa+μb=0 得 b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知,向量a与b共线。

2、必要性,已知向量a与b共线,若a≠0,则由共线向量基本定理知,b=λa,所以 λa-b=0,取 μ=-1≠0,故有 λa+μb=0,实数λ、μ不全为零。若a=0,则取μ=0,取λ为任意一个不为零的实数,即有 λa+μb=0。

参考资料来源:百度百科-共线向量基本定理

共线向量基本定理为如果 a≠0,那么向量b与a共线的充要条件是:存在唯一实数λ,使得 b=λa。

证明:

1、充分性:对于向量 a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使 b=λa,那么由实数与向量的积的定义 知,向量a与b共线。

2、必要性:已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的m倍,即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时,令 λ=m,有 b =λa,当向量a与b反方向时,令 λ=-m,有 b=λa。如果b=0,那么λ=0。

3、唯一性:如果 b=λa=μa,那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0,所以 λ=μ。

扩展资料:

向量的记法:

印刷体记作黑体(粗体)的字母(如a、b、u、v),书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 [1]  如果给定向量的起点(A)和终点(B),可将向量记作AB(并于顶上加→)。在空间直角坐标系中,也能把向量以数对形式表示,例如xOy平面中(2,3)是一向量。

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化,得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素,要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示,大小和方向的概念亦不一定适用。因此,平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。

不过,依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系,也可以透过选取恰当的定义,在向量空间上介定范数和内积,这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

参考资料来源:百度百科——共线向量基本定理

两个向量共线公式:向量m=(a,b),向量n=(c,d),两者共线时ad=bc。若向量a与向量b(b为非零向量)共线,则a=λb(λ为实数)。

向量a与向量b共线的充要条件是,a与b线性相关,即存在不全为0的两个实数λ和μ,使λa+μb=0。

更一般的,平面内若a=(p1,p2),b=(q1,q2),a∥b的充要条件是p1·q2=p2·q1。


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