计算流体力学中有限差分法，有限体积法和有限元法的区别

说一下我的看法，如果你感觉不对，可以当做参考。

1有限差分是把连续的，离散为一个个点，用各个点的变量来表示整个连续范围内的变化，离散形式大体是将偏微分变为相邻点相减、相除的格式（比如什么前差后差，中心差分、二阶迎风等等）。

2有限体积法，是把连续的离散为一个个的小体积，以体积的中心点，表示这个体积的状态，再由各个体积得到整个连续的变化。离散形式是将偏微分方程变为积分的形式。

总的来说，这两种方法，无非是将连续的偏微分方程变形，得到近似解的过程（不是解析解）。前两种编过一点小程序，但是感觉理解的还是不太好。有限元法没做过，不懂。

岩土工程常用的数值方法包括：有限差分法、边界元法、离散元法、颗粒元法、不连续变形分析法、流形元法、模糊数学方法、概率论与可靠度分析方法、灰色系统理论、人工智能与专家系统、神经网络方法、时间序列分析法。

有限单元法的优缺点：有限单元法的理论基础是虚功原理和基于最小势能的变分原理，它将研究域离散化，对位移场和应力场的连续性进行物理近似。有限单元法适用性广泛，从理论上讲对任何问题都适用，但计算速度相对较慢。即，物理概念清晰、灵活、通用、计算速度叫慢。

有限差分法：该方法适合求解非线性大变形问题，在岩土力学计算中有广泛的应用。有限差分法和有限单元法都产生一组待解方程组。尽管这些方程是通过不同方式推导出来的，但两者产生的方程是一致。另外，有限单元程序通常要将单元矩阵组合成大型整体刚度矩阵，而有限差分则无需如此，因为它相对高效地在每个计算步重新生成有限差分方程。在有限单元法中，常采用隐式、矩阵解算方法，而有限差分法则通常采用“显式”、时间递步法解算代数方程。

边界元法：该方法的理论基础是Betti功互等定理和Kelvin基本解，它只要离散求解域的边界，因而得到离散代数方程组中的未知量也只是边界上的量。边界元法化微分方程为边界积分方程，离散划分少，可以考虑远场应力，有降低维数的优点，可以用较少的内存解决较大的问题，便于提高计算速度。

离散元法：离散元法的理论基础是牛顿第二定律并结合不同的本构关系，适用对非连续体如岩体问题求解。该方法利用岩体的断裂面进行网格划分，每个单元就是被断裂面切割的岩块，视岩块的运动主要受控于岩体节理系统。它采用显式求解的方法，按照块体运动、弱面产生变形，变形是接触区的滑动和转动，由牛顿定律、运动学方程求解，无需形成大型矩阵而直接按时步迭代求解，在求解过程中允许块体间开裂、错动，并可以脱离母体而下落。离散元法对破碎岩石工程，动态和准动态问题能给出较好解答。

颗粒元法：颗粒元方法是通过离散单元方法来模拟圆形颗粒介质的运动及其相互作用，它采用数值方法将物体分为有代表性的多个颗粒单元，通过颗粒间的相互作用来表达整个宏观物体的应力响应，从而利用局部的模拟结果来计算颗粒群群体的运动与应力场特征。 不连续变形分析方法：该方法是并行于有限单元法的一种方法，其不同之处是可以计算不连续面的错位、滑移、开裂和旋转等大位移的静力和动力问题。此方法在岩石力学中的应用备受关注。

流形元法；该方法是运用现代数学“流形”的有限覆盖技术所建立起来的一种新的数值方法。有限覆盖是由物理覆盖和数学覆盖所组成的，它可以处理连续和非连续的问题，在统一解决有限单元法、不连续变形分析法和其他数值方法的耦合计算方面，有重要的应用前景。

无单元法：该方法是一种不划分单元的数值计算方法，它采用滑动最小二乘法所产生的光滑函数去近似场函数，而且又保留了有限单元法的一些特点。它只要求结点处的信息，而不需要也没有单元的信息。无单元法可以求解具有复杂边界条件的边值问题，如开裂问题，只要加密离散点就可以跟踪裂缝的传播。它在解决岩石力学非线性、非连续问题等方面具有重要价值和发展前景。

混合法：对于复杂工程问题，可采用混合法，即有限单元法、边界元法、离散元法等两两耦合来求解。

模糊数学方法：模糊理论用隶属函数代替确定论中的特征函数描述边界不清的过渡性问题，模糊模式识别和综合评判理论对多因素问题分析适用。 概率论与可靠度分析方法：运用概率论方法分析事件发生的概率，进行安全和可靠度评价。对岩土力学而言，包括岩石（土）的稳定性判断、强度预测预报、工程可靠度分析、顶板稳定性分析、地震研究、基础工程稳定性研究等。

灰色系统理论：以“灰色、灰关系、灰数”为特征，研究介于“黑色”和“白色”之间事件的特征，在社会科学及自然科学领域应用广泛。岩土力学中，用灰色系统理论进行岩体分类、滑坡发生时间预测、岩爆分析与预测、基础工程稳定性、工程结构分析，用灰色关联度分析岩土体稳定性因素主次关系等。

人工智能与专家系统：应用专家的知识进行知识处理、知识运用、搜索、不确定性推理分析复杂问题并给出合理的建议和决策。岩石力学中，可进行如岩土（石）分类、稳定性分析、支护设计、加固方案优化等研究。 神经网络方法：试图模拟人脑神经系统的组织方式来构成新型的信息处理系统，通过神经网络的学习、记忆和推理过程进行信息处理。岩石力学中，用于各种岩土力学参数分析、地应力处理、地压预测、岩土分类、稳定性评价与预测等。

时间序列分析法：通过对系统行为的涨落规律统计，用时间序列函数研究系统的动态力学行为。岩石力学中，用于矿压显现规律研究、岩石蠕变、岩石工程的位移、边坡和硐室稳定性等、基础工程中降水、开挖、沉降变形等与时间相关的问题。

本文直接根据达西定律和水均衡原理对网格建立差分形式的水均衡方程，从而得到相应的差分方程。如图6-5，对于格点（i,j）代表的均衡区（图中阴影部分），其边长分别为△xi和△yi。其中

图6-6　模拟区的网格及边界划分图

断陷盆地油气二次运移与聚集

由达西定律和水均衡原理可得到水均衡方程

断陷盆地油气二次运移与聚集

其中 、 、 和 分别表示均衡区四边的导水系数，用格点（i,j）处的导水系数与其相邻格点的导水系数值的调和平均值表示，即

断陷盆地油气二次运移与聚集

式中：Qi,j——网格（i,j）内垂向排液量，由上、下泥岩供给；

Ri,j——网格（i,j）内储层本身受压实的释水量，由压实史提供；

△xi——x方向的网格步长；

△yj——y方向的网格步长；

μi,j——网格（i,j）的储水系数；

hn——n时刻储层的水头值（下标略）；

hn+1——n+1时刻储层的水头值。

图6-7　求解古水头程序流程图

以各格点的水头为基础，整理（6-16）式，得：

断陷盆地油气二次运移与聚集

式中

断陷盆地油气二次运移与聚集

上式为全隐式差分方程，具有稳定性和绝对收敛性，易知只要将Ei,j置于系数矩阵的对角线上，其方程组的系数矩阵是对角占优的，故存在唯一解。

有限差分法 微分方程和积分微分方程数值解的方法基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替,这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似,积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,即有限差分方程组 ,解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解在采用数值计算方法求解偏微分方程时,若将每一处导数由有限差分近似公式替代,从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题,即所谓的有限差分法有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：1、区域离散化,即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格； 2、近似替代,即采用有限差分公式替代每一个格点的导数； 3、逼近求解换而言之,这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程（Leon,Lapidus,George FPinder,1985）

有限元法（finite element method）是一种高效能、常用的数值计算方法。科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。

有限差分方法（finite difference method）一种求偏微分（或常微分）方程和方程组定解问题的数值解的方法，简称差分方法。

有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积法的基本方法。

使用matlab软件，用有限差分法求解常微分方程 d^2y/ dx^2-2(9x+2)y=-2(9x+2)e^x ,y(0)=0,y(1)=1，其步长001。求解该方程可以按照下列思路来编写代码：

首先，将x的区间0，1分成若干份，设定步长h=001，分点x0=0，x1=a+h，。。。，xk=a+kh，。。。，xn=b

其二，根据迭代式y(i+1)-(2+q(x(i))h^2)y(i)+y(i-1)=f(x(i))h^2,b(i)=h^2f(x(i)),其中，d(1)=h^2f(x(1))-a，d(N)=h^2f(x(N-1))-b，写出差分线性方程组,Ay=d

其三，用消元法，迭代法或追赶法，求解y(i)值

其四，用plot函数绘出y(x)的曲线图

运行代码可以得到如下结果。代码可以提供。

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