求向量组的秩

解: (a1,a2,a3,a4)=
1 1 1 3
1 -1 1 1
2 1 3 5
3 1 5 7
r2-r1,r3-2r1,r4-3r1
1 1 1 3
0 -2 0 -2
0 -1 1 -1
0 -2 2 -2
r4-2r3,r2(-1/2),r3+r2,
1 1 1 3
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0
r1-r2-r3
1 0 0 2
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0
所以向量组的秩为3, a1,a2,a3是向量组的一个极大无关组
a4 = 2a1+a2+0a3

将a1,a2,a3,a4按列排成矩阵,然后化成阶梯行矩阵,这个矩阵的非零行数就等于原来的向量组的秩,且非零行的第一个非零元所在的列对应的向量就构成了这个向量组的极大无关向量组
1 0 2 2
2 -1 3 3
3 2 8 6
4 3 11 8
1 0 2 2
0 -1 -1 -1
0 2 2 0
0 3 3 0
1 0 2 2
0 1 1 1
0 0 0 -2
0 0 0 -3
1 0 2 2
0 1 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
最后的阶梯矩阵有3个非零行,所以向量组的秩为3,而且可以看出a1,a2,a4是这个向量组的一个极大无关组(不唯一)

通过初等变换
1、矩阵的秩。对任意mn阶矩阵,通过初等变换(包括行初等变换和列初等变换)将其化为行阶梯型矩阵,行阶梯型矩阵中非零的行数即为该矩阵的秩;2、向量组的秩。将此向量组中每个向量按列构成一矩阵,通过求矩阵的秩得到该向量组的秩,理论依据为矩阵的秩等于其行(列)向量组的秩。

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