关于有界变差函数介绍

[拼音]：youjie biancha hanshu

[外文]：function of bounded variation

常用的一类函数。最初是由C.若尔当为研究曲线长度而引进的，它在曲线求长问题、曲线积分、黎曼-斯蒂尔杰斯积分、勒贝格－斯蒂尔杰斯积分以及矩量问题中具有重要地位。这类函数中有两个重要的子类单调函数类和绝对连续函数类。

设 ƒ(x)是定义在区间[α，b]上的实值函数。如果对[α，b]中满足x1<x2的任何两点x1，x2都成立ƒ(x1)≤ƒ(x2)，那么称ƒ(x)是[α，b]上单调增加函数(又称单调上升函数)。类似地有单调减少函数(单调下降函数)。它们统称为单调函数，关于单调函数的连续性、可积性、可微性有如下结论：

（1）单调函数只能有第一类不连续点，并且不连续点至多只有可列数个。

（2）区间[α，b]上单调函数必黎曼可积。

（3）对区间[α，b]上单调函数ƒ(x)，必存在一个勒贝格测度等于零的集，在这个零集之外，ƒ(x)有有限导数，而且它是勒贝格可积的，且满足。单调函数概念还可推广到开区间和无限区间等情况。

设ƒ(x)是定义在[α，b]区间上的有限函数。对分点组D:，作和式

因此有σ(ƒ，D)=σ+(ƒ，D)+σ-(ƒ，D)。如果数集{σ(ƒ，D)}有上界，则称ƒ(x)为[α，b)]上的有界变差函数，并分别称是 ƒ在[α，b]区间上的全变差、正变差、负变差。ƒ在[α，b]上的全变差记为，而ƒ在［α，b］上的正变差、负变差分别记为 pα(b))、nα(b)。成立。有界变差函数具有如下一些基本性质。

（1）单调函数ƒ(x)一定是有界变差函数，且。区间[α，b)]上有界变差函数ƒ(x)可以分解为两个单调增加函数之差ƒ(x)=φ(x)-ψ(x)； 在这种分解下成立 ，而达到等式的分解除了相差一个常数外是惟一的，它就是φ(x)＝pα(x)，ψ(x)=nα(x)-ƒ(α)。对应的分解ƒ(x)=pα(x)-(nα(x)-ƒ(α))称为x(y)的若尔当分解。由于有界变差函数是两个单调函数之差， 所以单调函数的性质①、②、③中， 除去③中的积分不等式要换成外， 其余都成立。

（2）有界变差函数ƒ(x)在x0是右（左）连续当且仅当在x0是右(左)连续的，或者 pα(x)、nα(x)同时在x0是右(左)连续的。

（3）黑利选取原理：如果 {ƒλ(x)}是一族有界变差函数，且{ƒλ(α)}和是有界集，那么从函数族{ƒλ(x)}中必可选出一列函数在[α，b)]上处处收敛于一个有界变差函数。

也称全连续函数。在计算 [α，b]上函数ƒ(x)的黎曼积分时，牛顿-莱布尼茨公式是非常有效的工具之一。这个公式通常要在是[α，b]上连续函数的条件下才能运用。有例子说明，一个连续函数F(x)在[α，b]上的导函数即使是有界函数，也不一定是可积的。当黎曼积分换成勒贝格积分时，使牛顿-莱布尼茨公式成立的充分必要条件是：对任何 ε>0，总有 δ>0，使得对于任何有限个互不相交的区间(αυ，bυ) (v=1，2，…，n)，只要时，必有。 满足上述条件的函数称绝对连续函数。绝对连续函数有如下一些重要性质：

（1）绝对连续函数是有界变差函数， 并且是连续函数。

（2）F(x)是[α，b] 上绝对连续函数的充分必要条件是存在一个勒贝格可积函数ƒ(x)使。

（3）如果 F(x)，G(x)是两个绝对连续函数，则F(x)G(x)也是绝对连续函数，且有分部积分公式:

。

④如果G(x)是绝对连续函数，ƒ(x)是勒贝格可测函数，则ƒ(x)关于G(x)是勒贝格－斯蒂尔杰斯可积（见勒贝格积分），当且仅当 是勒贝格可积；在可积时，成立

。

存在非常数的(甚至是严格单调增加的)连续函数F(x)，使得在除去一个勒贝格测度等于零的集外，都等于零。显然，这种函数不满足牛顿-莱布尼茨公式，被称为奇异函数。

如果ƒ(x)是［α，b］区间上连续的有界变差函数，那么存在惟一的满足ƒc(α)＝0的绝对连续函数ƒc(x)和满足ƒs(α)=0的奇异函数ƒs(x)，使得ƒ(x)=ƒc(x)+ƒs(x)+ƒ(α)。

以平面曲线为例，设有平面曲线Γ：x=φ(t)，y=ψ(t)(0≤t≤1)，任取一个分点组，作和式 ，如果有限，那么称Γ为可求长曲线，并称s为Γ的长度。Γ是可求长曲线的充分必要条件是φ，ψ都是[0，1]上有界变差函数。