极坐标系的坐标转化

在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换　极坐标系中的两个坐标 ρ和 θ可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值
x=ρcosθ
y=ρsinθ
由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和 y两坐标如何计算出极坐标下的坐标
θ=arctany/x ( x不等于0)
在 x= 0的情况下：若 y为正数 θ= 90° (π/2 radians)；若 y为负，则 θ= 270° (3π/2 radians)

在 平面内取一个定点O,叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)对于平面内任何一点M,用ρ表示线段OM的长度,θ表示从Ox到OM的角度,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标,这样建立的坐标系叫做极坐标系
在极坐标中,x被ρcosθ代替,y被ρsinθ代替ρ=(x^2+y^2)^05 在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）(就是兰州所谓的“普通方程”）间转换：

极坐标转换为直角坐标

转化方法及其步骤：

第一步：把极坐标方程中的θ整理成cosθ和sinθ的形式。

第二步：把cosθ化成x/ρ,把sinθ化成y/ρ；或者把ρcosθ化成x,把ρsinθ化成y。

第三步：把ρ换成（根号下x2＋y2）；或将其平方变成ρ2,再变成x2＋y2。

第四步：把所得方程整理成让人心里舒服的形式。

例：把 ρ＝2cosθ化成直角坐标方程。

将ρ＝2cosθ等号两边同时乘以ρ,得到：ρ2＝2ρcosθ。

把ρ2用x2＋y2代替,把ρcosθ用x代替,得到：x2＋y2＝2x。

再整理一步,即可得到所求方程为：

（x－1）^2＋y2＝1。

这是一个圆,圆心在点（1,0）,半径为1。
直角坐标转换为极坐标。

第一：两个坐标原点重合x轴相重合。

第二：长度单位相同。

第三：通常使用“弧度制”。

在此情况下,我们有设直角坐标系里的曲线上的一个任一点的坐标为A（x,y)则它在极坐标系里的坐标为A（ρ,θ）。

极坐标系：

正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：r（半径坐标）和θ（角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t）。r坐标表示与极点的距离，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。

比如，极坐标中的（3,60°）表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。（−3,240°） 和（3,60°）表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方（240° − 180° = 60°）。

极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点（r，θ）可以任意表示为（r，θ ± 2kπ）或（−r，θ ± (2k+ 1)π），这里k是任意整数。如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。

你计算出来就能换了你假设X轴就是极坐标的轴,那么每个点的位置你用极坐标表示你就会有两个参数,解直角三角形求其边长就OK了径和圆周的比来作运算,所以物理方面更倾向使用弧度在极坐标系与平面直角坐标系间转换极坐标系中的两个坐标
r
和
θ
可以由下面的公式转换为
直角坐标系下的坐标值
x
=
rcos(θ),y
=
rsin(θ),由上述二公式,可得到从直角坐标系中x
和
y
两坐标如何计算出极坐标下的坐标
r
=
sqrt(x^2
+
y^2),θ=
arctan
y/x
在
x
=
0的情况下：若
y
为正数
θ
=
90°
(π/2
radians);
若
y
为负,则
θ
=
270°
(3π/2
radians)

二重积分经常把直角坐标转化为极坐标形式主要公式有x=ρcosθ y=ρsinθ x^2+y^2=ρ^2 dxdy=ρdρdθ；极点是原来直角坐标的原点以下是求ρ和θ范围的方法：

一般转换极坐标是因为有x^2+y^2存在,转换后计算方便题目中会给一个x,y的限定范围，一般是个圆将x=ρcosθ y=ρsinθ代进去可以得到一个关于ρ的等式；

就是ρ的最大值 而ρ的最小值一直是0过原点作该圆的切线,切线与x轴夹角为θ范围如：x^2+y^2=2x 所以(ρcosθ)^2+(ρsinθ)^2=2ρcosθ ρ=2cosθ ；此时0≤ρ≤2cosθ 切线为x=0 所以 -2/π≤θ≤2/π

扩展资料：

在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。

为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D。

参考资料来源：百度百科-二重积分

直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点的数轴。其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系
极坐标系：在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ＜2π时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零 ，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地 ，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标 ，那么（ρ，θ＋2nπ），（－ρ，θ＋（2n＋1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ＝r 等速螺线的方程为。此外，椭圆 、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥截线，可以用一个统一的极坐标方程表示。
极坐标系到直角坐标系的转化：
x=ρcosθ y=ρsinθ在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换 极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值 由上述二公式，可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标 在 x = 0的情况下：若 y 为正数 θ = 90° (π/2 radians)；若 y 为负，则 θ = 270° (3π/2 radians)

我来回答一下 面对这个问题，你可以画一个图：首先，当X=0 也就是r与水平方向夹角为0时，r=3cos0=3,画一条0度的单位长度为3的有向线段，相当于一个水平的模为3的向量； 其次，当x=90 也就是r与水平方向夹角为90度时，r=3cos90=0, 这个位置与原点重合 ---现在，圆的一条直径上的两个点已经有了--- 接下来，你可以这样判断： 在前面的图的基础上于x属于0到90之间画出上半个圆，由几何知识可知，当x=45时，r=3/2^(1/2） 当x=60时，r=3/2 ；当x=30时，r=33^(1/2)/2 etc 将这些由几何知识所得到的数据组代入所给极坐标方程验证，看方程是否成立，代的越多越接近整个图形 最后，告诉你一个很直接的方法，下载一个几何画板，输入方程，便可一目了然~ 希望答案令你满意！

摘要： 坐标变换是解析几何中一个有用的工具。任何一个二次方程，经过坐标轴适当的平移和旋转，都可以化成圆锥曲线的标准方程(或它们的特殊情形)。但方程化简十分烦琐，利用极坐标系可以使问题的解决得到很大的简化。

关键词： 数学;极坐标;坐标变换

首先介绍两个基本知识

一、极轴的旋转

如果极点的`位置、长度单位和角度的正方向都不改变，而极轴绕极点旋转一个角度，这种坐标系的变换叫极轴的旋转。

如下图，OX是原来的极轴，OX’是OX绕极点O旋转 角得到的新极轴，设p是平面内的任一点，它的旧坐标是 ，新坐标是 。它的新旧坐标关系是：

二、把中心取为极点的圆锥曲线极坐标方程

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正方向作为极轴，在两种坐标系中取相同的长度单位。

三、一般二次方程的化简

由于一般二次方程 的化简既需要坐标轴的旋转，又需要坐标轴的平移，而坐标轴的平移变换在直角坐标系中利用通常的平移公式是十分简单的，所以在化简这类方程时，可以把上述的利用极坐标系的坐标旋转和直角坐标系的坐标平移结合起来用。在顺序上，依照通常的顺序，就是有心曲线先平移、后旋转;无心曲线先旋转、后平移。

参考文献：

[1] 季素月数学教学概论东南大学出版社2000年4月

[2] 左铨如解析几何教程2002年8月

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