判断无穷级数的收敛性

应用比较审敛法，|cosnα|<=1，所以级数∑cosnα/n(n+1)小于等于∑1/n(n+1)，而后者是绝对收敛的，所以得到级数∑cosnα/n(n+1)亦是绝对收敛的：
∑1/n(n+1)部分和=1-1/(n+1)，其极限存在。

利用公式sin(a)=(-1)^nsin(a-npi)，
通项an=(-1)^nsin(pi(根号(n^2+1)-n))
=(-1)^nsin(pi/(根号(n^2+1)+n))
=(-1)^nbn
其中bn递减趋于0，因此级数收敛。

利用泰勒展开式求解。∵x→0时，ln(1+x)=x-x²/2+O(x²)。而，n→∞时，1/n→0。
∴ln[(n+1)/(n-1)]=ln(1+1/n)-ln(1-1/n)=2/n+O(1/n²)。
∴原级数与级数∑(1/√n)(2/n)=2∑1/n^(3/2)有相同的敛散性。又，后者收敛。∴原级数收敛。

1/(1-x)的收敛域为|x|<1，套用常用泰勒展开式时要注意其收敛域
因此|(x+5)/8|<1，|(ⅹ+5)/7|<1
解得-13<x<3，-12<x<2
因此-12<x<2

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