可测函数的定义

可测函数的定义：可测空间之间的保持（可测集合）结构的函数，也是勒贝格积分或实分析中主要讨论的函数。

数学分析中的不可测函数一般视为病态的。设f是定义在可测集E上的实函数。如果对每一个实数，集E[f>a]恒可测（勒贝格可测），则称f是定义在E上的（勒贝格）可测函数。

定理设f是定义在可测集E上的实函数，下列任一个条件都是在E上（勒贝格）可测的充要条件：对任何有限实数a，E[f>=a]都可测；对任何有限实数a，E[f<a]都可测；对任何有限实数a，E[f=<a]都可测；对任何有限实数a,b，E[a=<f<b]都可测。

设（X，F）为一可测空间，E是一个可测集。f：E→R为定义在E上的函数。若对任意实数a，总有{x∈E: f(x)<a}∈F，则称f为E上的F-可测函数（简称E上的可测函数）。

特别地，若可测空间取为是Rn上的Lebesgue可测空间。E是Rn中的Lebesgue可测集。则E上的可测函数成为Lebesgue可测函数。若可测空间取为Rn上的Borel可测空间，E是Rn中的Borel集，则E上的可测函数称为Borel可测函数。

可测函数与连续函数的本质差异：

可测函数和连续函数都是特殊的函数类型。可测函数是指可以通过实验测量来确定其值的函数，而连续函数则是指在函数定义域内，对于任意两个不同的自变量值，其函数值之差都小于某一个给定的正数，即函数值连续变化。可以说，连续函数是一种特殊的可测函数，因为它的值可以通过实验测量得到。

但是，并不是所有的可测函数都是连续函数，因为可测函数的定义并没有强制要求它的值必须是连续的。因此，可测函数与连续函数的关系是：连续函数是可测函数的一种，而可测函数不一定是连续函数。

比如说你想研究上市公司的营业额增加了多少，增加的百分比为多少，有的公司景气，但有的公司不是，第一你必须先对其进行归类，然后对每个类别进行计算分析，想想计算量蛮大的。而计量经济学的思想是用样本预测总体，何为预测，就是在还不知道的情况下根据已有的数据进行科学合理的推测与判断，所以总体一定是不可观测的。

可积函数的函数可积的充分条件：

1、函数有界。

2、在该区间上连续。

3、有有限个间断点。

函数可以定义在点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。

相关如下：

任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积。

可以统一处理函数有界与无界的情形，函数也可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理。因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛，特别对概率论与数理统计的深入学习有十分重要的意义。

给定集合X及其上的σ-代数σ和σ上的一个测度，实值函数f:X→R是可积的如果正部f和负部f都是可测函数并且其勒贝格积分有限。