将周期为2∏的函数f(x)等于e的2x次方展开为傅里叶级数

函数 f(x) 在 [-π,π] 是偶函数,其傅里叶级数是余弦级数,先求傅里叶系数

a(0) = (2/π)∫[0,π](π²-x²)dx = ……,

a(n) = (2/π)∫[0,π](π²-x²)cosnxdx = ……,n≥1,

b(n) = 0,n≥1,

所以,f(x) 在 [-π,π] 上的傅里叶级数（余弦级数）为

f(x) a(0)/2+∑(n≥1)a(n)cosnx = ……,（省略处留给你）

由于函数 f(x) 在 (-∞,+∞) 上是连续函数（作图）,则该级数的和函数为

S(x) = [f(x-0)+f(x+0)]/2 = f(x),x∈[-π,π]

概念 ：形如 的级数，其中 都是常数，称为三角级数。

三角函数系的正交性 ：三角函数系

中任意不同的两个函数的乘积在区间 上的积分等于零。

概念 ：如果 是周期为 的周期函数，且能展开成上述三角级数，当

积分都存在，这时它们定出的系数 叫做函数 的傅里叶系数，带入所得的三角级数叫做函数 的傅里叶级数。

收敛定理，狄利克雷充分条件 ：设 是周期为 的周期函数，如果它满足：

那么 的傅里叶级数收敛，并且当 是 的连续点时，级数收敛于 ；当 是 的间断点时，级数收敛于 。

周期延拓 ：把一个定义域为有限区间的函数拓展为周期函数，按这种方式拓广函数的定义域的过程称为周期延拓。

正弦级数 ：奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数。

余弦级数 ：偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数。

奇（偶）延拓 ：设函数 定义在区间 上并且满足收敛定理的条件，我们在开区间 内补充函数 的定义，得到定义在 上的函数 ，使它在 上成为奇（偶）函数。按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇（偶）延拓。

对周期为 的周期函数做变量代换 得到以下定理：

定理 ：设周期为 的周期函数 满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为

其中

近来，在开展课题时遇到了需要将梯形波进行 傅里叶级数 展开的问题，查询了一些资料（惭愧，一开始就没想着自己动手积分），然后没有找到自己想要的结果（其实有相近的，只不过不是任意周期的，当时没有转变过来），最后还是动手算出来了，在这里做一个小小的记录，算是回顾以前的知识吧，捂脸。

由于像三角波，矩形波，梯形波这种波形不连续，因此在仿真软件中很容易出现计算不收敛的情况。所以，在这种情况下，利用一系列谐波叠加的形式来等价于原来的波形，可以很好的优化模型。

给定一个周期为 的函数 ，那么它可以表示为无穷级数：

其中傅里叶系数为：

在闭区间上满足 狄利克雷 条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：

满足上述条件的 傅里叶级数都收敛，且：

所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧式空间中，互相垂直的向量之间是正交的。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：

奇函数 可以表示为正弦级数，而偶函数 则可以表示成余弦级数：

如上图所示，该梯形波是一个周期为T的奇函数，幅值为 ，上升沿时间为 ，在区间 的函数表达式为：

由奇偶性可知，该波形在区间 的傅里叶级数展开式为：

其中傅里叶系数为：

将 函数代入傅里叶系数表达式中，可得：

由

可得：

综上所述，可以得到该梯形波在区间 的傅里叶级数展开式为：

其中：

如上图所示，该脉冲波是一个周期为T的偶函数，幅值为 ，脉冲宽度为 ，在区间 的函数表达式为：

由奇偶性可知，该波形在区间 的傅里叶级数展开式为：

其中傅里叶系数为：

将 函数代入傅里叶系数表达式中，可得：

因此，可以得到该梯形波在区间 的傅里叶级数展开式为：

其中：

同理，该方波在区间 的傅里叶级数展开式为：

其中：

同理，该三角波在区间 的傅里叶级数展开式为：

该锯齿波如上图所示，在区间 的函数表达式为：

由于该函数为非奇非偶函数，因此，该波形在区间 的傅里叶级数展开式为：

其中傅里叶系数为：

将 函数代入傅里叶系数表达式中，可得：

因此，可以得到该锯齿波在区间 的傅里叶级数展开式为：

这里仅仅列出了极小部分的波形的傅里叶级数展开式，对于其它波形，类似代入计算即可，给出公式之后，更多的是考验数学积分计算了。

函数展开成正弦级数或余弦级数中有时需要把定义在[0，π]或[-π，0]上的函数f（x）展开成正弦级数或余弦级数，为此，可在（-π，0）或（0，π）上补充f（x）的定义，若有必要，可改变f（x）在点x=0的定义，如果使之成为奇函数，按这种方法拓广函数定义域的过程称为奇延拓；如果使之成为偶函数，按这种方法拓广函数定义域的过程称为偶延拓。根据以上讨论，拓广后的函数的傅里叶展开式是正弦或余弦级数，限制x在f（x）原定义区间上即得函数f（x）在[0，π]或[-π，0]上的正弦或余弦级数。

在实际应用中，有时还需要把定义在区间[0,π]的函数f(x)展开成正弦级数或余弦级数 这个问题可按如下方法解决。

设函数f(x)定义在区间[0,π]上且满足狄利克雷收敛定理的条件 我们先要把函数f(x)的定义延拓到区间(-π,0]上，得到定义在(-π,π]上的函数F(x)，根据实际的需要，常采用以下两种延拓方式：

1奇延拓  令F(x)={cf(x),&0<x\le\pi}\\{0,}&{x=0}\\{-f(-x),}&{-\pi<x<0}\\\end{array}\right$< span="">，则F(x)是定义在(-π,π]上的奇函数，将F(x)在(-π,π]上展开成傅里叶级数，所得级数必是正弦级数 再限制x在(0,π]上，就得到f(x)的正弦级数展开式。

2偶延拓  令F(x)={cf(x),&0≤x≤π&f(-x),&-π<x<0}\\\end{array}\right$< span="">，则F(x)是定义在(-π,π]上的偶函数，将F(x)在(-π,π]上展开成傅里叶级数，所得级数必是余弦级数 再限制x在(0,π]上，就得到f(x)的余弦级数展开式。

详细过程是，∵f(x)、f(x)cosnx是奇函数，f(x)sinnx是偶函数，∴由定积分的性质，有a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=0。

bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sinnxdx=(2/π)∫(0,π)sinnxdx=-[2/(nπ)]cosnx丨(x=0,π)=-[(-1)^n-1]/(nπ)。

∴n为偶数时，bn=0、n为奇数时，bn=4/(nπ)。