证明：可测集E上的连续函数和单调函数是可测函数?

先清楚可测函数的定义,设函数是f(x),那么f可测就是如果对于任意实数t,E(f>t)（E上使得f>t的那个子集）都是可测的,那么f就是可测函数就采用这个定义

①连续函数,设为f连续函数有一个性质：对于任何λ∈R,集合{x | f (x) >λ \x15}都是开集这是个定理,你看看书上有没有,要是没有也可以证出来,就用数学分析里面的连续函数定义就可以那么对于任意实数t,E(f>t)是开集,开集当然是可测的,所以f可测

②单调函数,设为f不妨设f单调递增,递减完全类似对于任意实数t,假如t在f的值域内,则必然存在唯一的x0,使得f(x0)=t,所以E(f>t)=区间(x0,+∞)∩E,当然是两个可测集角还是可测集,所以f可测要是t不属于f值域,那就取f值域里面最接近t但是比t大的那个数t0,f(x0)=t0,所以

E(f>t)=区间(x0,+∞)∩E,还是可测集如果t大于值域中任何数,E(f>t)=∅,当然也是可测的综上单调函数f可测

用导数的等价定义

f可测,因此[f(x+1/n)-f(x)]/[1/n]仍然可测

上式中n趋于无穷,依然可测,而极限正是f的导数,因此导数也可测

我认为这个命题的内容远比证明方法重要：

我们知道连续函数一定可测,但可微函数的导函数未必连续,这个命题告诉我们这个不连续的函数依旧可测,说明可测是连续的推广,连续只是可测的特例；

一个函数,它并不连续,但他可以作为一个函数的导数,这是这个函数唯一的,或者说隐含的特性,这一特性却足以保证它的可测性,不得不说这是很“神奇”的结论

也变相说明了,不是任意一个函数都可以作为另一个函数的导数

最近在上一门stochastic calculus的课程，其中第一次碰到了概率空间上条件期望[ conditional expectation, wikipedia ]的概念，刚开始觉得有些难以理解和接受，仔细想了想有了一些心得体会，在这里分享一下。

首先是条件期望的定义：

这里的随机变量X是一个从概率空间\Omega到欧式空间R^n的可测函数，它的条件期望E[X|HH](我用HH表示花H)首先是一个HH-可测的函数，另外满足在任何H上的积分等于X在H上的积分。由这两个条件限制得到的条件期望是存在唯一的(在几乎处处相等的意义下)，但是这么定义的条件期望是什么呢？

若HH={empty,\Omega}。

也即HH是\Omega上最小的Borel代数，只有两个元素，空集和全空间。E[X|HH]满足两个条件，一是在HH上可测，二是在H上的积分等于X在H上的积分。首先看第一个，在HH={empty,\Omega}上的可测函数只有常值函数，可以考虑用反证法，若值域中有两个不同的点，先找到开集V1,V2将两个点分离，那么V1,V2的原像是两个互不相交的非空可测集，这不可能。所以E[X|HH]是常函数。下面再看第二个条件，考查在H上的积分，H只有两个选择，空集上的积分无意义，所以只剩下全空间上的积分，条件二便等价于常值在全空间上的积分等于X在全空间上的积分，因此常值函数E[X|HH]就是期望E[X]。

若HH={empty, A, B, \Omega}。(B是A的补集)

此时HH除了空集、全空间之外还有A和A的补集。那么首先HH上的可测函数都可以写成a1_A+b1_B，即为A、B上特征函数的线性组合，证明方法与上面类似，首先可证像集中最多有两个点，同样用反证法。条件二考查在HH中可测集上的积分，即H可取A、B与全空间，而在A和B上，E[X|HH]分别是常值，取H=A，可得aP(A)=\int_A X dP，即a=(\int_A X dP)/P(A)，即为X在A上的积分除以A的概率，同样地可得b有相似的形式。

若HH是有限集，或者更一般地，存在有限个可测集H1,,Hn使得它们互不相交，且并为全空间，且每个Hi都没有比它更小的可测集。

这时，HH上的可测函数都可以写为a11_H1++an1_Hn。首先HH上的所有简单函数都有这样的形式，变化的就是这些系数ai，于是它们组成了一个有限维空间，而可测函数可以由简单函数点态逼近，而有限维空间的闭还是它自己，故证毕。在由条件二，分别令H=Hi，可以得到ai为X在Hi上的积分除以Hi的概率，即ai=(\int_Hi X dP)/P(Hi)，与我们一般所熟知的离散情况具有类似的形式。

当然上面所讨论的HH都具有某种“有限”性，对于一般的HH，表达形式更为复杂，甚至写不出来，但是希望上面的讨论可以帮助你有一定的感觉，更好地理解它。

1 叙述集合序列上下限集的定义，简单说一下两者的关系。

2 简述Bernstein定理。

3 给出聚点的定义。

4 叙述波尔察诺—魏尔斯特拉斯定理。

5cantor集是如何构成的？它的势是多少？

6 中任何非空的有界开集是如何构成的？

7 的势比的势大，对吗？不对的话，它们的势有何关系？

8 无穷集合最小的势是多少？

9 什么是完备集？完备集和自密集之间有什么关系？

10 可数集就是元素能数得清楚的集合，对吗？

11的有理数可排列为因而可按大小重新排列，对吗？为什么？

12 任意闭集的并一定是闭集吗？举例说明

13 任意开集的交一定是开集吗？举例说明

14 用简单例子，描述测度的定义。

15 简单说说为什么可数点集的测度为0 测度为0的集合一定可数吗？

16可测函数的定义是什么？

17请简要叙述简单函数的定义。

18请列举出可测函数的运算性质。

19什么是可测函数列在上几乎处处收敛到？

20 可测函数列可测函数列在上几乎处处收敛到，与在上一致几乎收敛于有什么关系？