二元函数的泰勒公式怎样求的？

二元函数泰勒展开式与拉格朗日余项的表达式如下:

扩展资料:

1 泰勒公式的余项Rn（x）类型

⑴ 佩亚诺（Peano）余项：

这里只需要n阶导数存在。

⑵施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：

其中θ∈（0,1），p为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）

⑶ 拉格朗日（Lagrange）余项：

其中θ∈（0,1）。

⑷ 柯西（Cauchy）余项：

其中θ∈（0,1）。

⑸ 积分余项：

2 常用函数的泰勒公式:

参考资料:

百度百科_泰勒公式

该函数在第一象限与第二象限分别都是直线，没有哪一个点具有无穷阶导数，故其泰勒展开是有限项。

而泰勒展开的前提是区间内光滑，所以你要的那个展开只能从x=0处分成两段分别表述。即那个展开唯一地只能是： f(x)=x-1 （x>=0) f(x)=-x-1 (x<0)

发展简史

希腊哲学家芝诺 （Zeno of Elea）在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论 -芝诺悖论。后来，亚里士多德相对于芝诺悖论提出了一个哲学的决议，但显然此部分数学内容没有得到解决直到被德谟克利特接手以及后来的阿基米德。

正是用了阿基米德的穷举法才使得一个无穷级数被逐步的细分，实现了有限的结果。

matlab求泰勒展开式，可以用taylor（）函数求解。求解方式可以按下列步骤计算：

1、单变量函数的Taylor展开式

例1：求exp(x)的泰勒展开式

syms x

T1 = taylor(exp(x))

例2：求sin(x)/(x^2+4x+3)关于x=2的泰勒展开的前三阶

syms x

f =sin(x)/(x^2+4x+3);

T2 = taylor(f, x, 'Order', 3);

x=2;

T2=eval(T2) %T2=-1111

2、多变量函数的Taylor展开式

例1：求(x^2-2x)exp(-x^2-y^2-xy)关于原点的泰勒展开式

syms x y

f(x,y)=(x^2-2x)exp(-x^2-y^2-xy)

F=taylor(f, [x,y], [0,0]); %F=-exp(- x^2 - xy - y^2)(- x^2 + 2x)

运行上述代码，可以得到结果。

在了解十个常用的泰勒展开式之前，应该先了解函数f(x)的泰勒多项式的一般形式。因为常用的泰勒展开式都是基于这个一般形式所得到的。

若函数f(x)在点x0存在直到n阶的导数，那么这些导数构成的：

Tn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)/1!+f"(x0)(x-x0)^2/2!+…+f^(n)(x0)(x-x0)^n/n!

称为函数f(x)在点x0处的泰勒多项式，其中各项系数f^(k)(x0)/k! (k=1,2,…, n)称为泰勒系数。

而函数f(x)的泰勒展开式就是它所对应的泰勒多项式与一个比(x-x0)^n高阶的无穷小的和，即Tn(x)+o((x-x0)^n)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)/1!+f"(x0)(x-x0)^2/2!+…+f^(n)(x0)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)。它是所有泰勒展开式的基础，因此算作第一个常用的泰勒展开始。

所以确定函数的泰勒展开式的关键，就是确定各项的系数，往更本质的问题上说，就是要确定函数在x0的各阶导数值。

其余九个常见的泰勒展开式分别包括：

1、x^a=x0^a+ax0^(a-1)(x-x0)+a(a-1)x0^(a-2)(x-x0)^2/2+…+a(a-1)…(a-n+1)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)

2、(1+x)^a=(1+x0)^a+a(1+x0)^(a-1)(x-x0)+a(a-1)(1+x0)^(a-2)(x-x0)^2/2+…+a(a-1)…(a-n+1)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)

3、1/x=1/x0-(x-x0)/x0^2+(x-x0)^2/x0^3-(x-x0)^3/x0^4+…+(-1)^n(x-x0)^n/x0^(n+1)+o((x-x0)^n)

4、1/(1-x)=1/(1-x0)+(x-x0)/(1-x0)^2+(x-x0)^2/(1-x0)^3+(x-x0)^3/(1-x0)^4+…+(x-x0)^n/(1-x0)^(n+1)+o((x-x0)^n)

5、e^x=e^x0+e^x0(x-x0)+e^x0(x-x0)^2/2+…+e^x0(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)

6、lnx=lnx0+(x-x0)/x0-(x-x0)^2/(2x0^2)+(x-x0)^3/(3x0^3)+…+(-1)^(n+1)(x-x0)^n/(nx0^n)+o((x-x0)^n)

7、ln(1+x)=ln(1+x0)+(x-x0)/(1+x0)-(x-x0)^2/(2(1+x0)^2)+(x-x0)^3/(3(1+x0)^3)+…+(-1)^(n+1)(x-x0)^n/(n(1+x0)^n)+o((x-x0)^n)

8、sinx=sinx0+(x-x0)sin(x0+π/2)+(x-x0)^2sin(x0+π)/2+…+(x-x0)^nsin(x0+nπ/2)/n!+o((x-x0)^n)

9、cosx=cosx0+(x-x0)cos(x0+π/2)+(x-x0)^2cos(x0+π)/2+…+(x-x0)^ncos(x0+nπ/2)/n!+o((x-x0)^n)

不过我们最常用的并不是泰勒展开式的原式，而是泰勒展开式在x0=0的形式，这样的泰勒展开式称为麦克劳林公式。其一般形式为：

f(x)=Tn(0)+o(x^n)=f(0)+xf'(0)/1!+x^2f"(0)/2!+…+x^nf^(n)(0)/n!+o(x^n)

不难发现，函数x^a, 1/x, lnx在x0=0处的泰勒展开式没有意义，因此它们并不常用，但在x0等于一个非0的(正)数时，它们都有意义，所以也可以把它们归入常用的泰勒展开式中。其它几个常用的泰勒展开式的麦克劳林公式分别为：

1、(1+x)^a=1+ax+a(a-1)x^2/2+…+a(a-1)…(a-n+1)x^n/n!+o(x^n)

2、1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+…+x^n+o(x^n)

3、e^x=1+x+x^2/2+…+x^n/n!+o(x^n)

4、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+…+(-1)^(n+1)x^n/n+o(x^n)

5、sinx=x-x^3/3!+x^5/5+…+(-1)^(m+1)x^(2m-1)/(2m-1)!+o(x^(2m))

6、cosx=1-x^2/2+x^4/4!+…+(-1)^mx^(2m)/(2m)!+o(x^(2m))

以上就是包括一般形式在内的十个常用的泰勒展开式，以及如果它们存在麦克劳林公式的情形。

一个函数n阶可导,则这个函数就可以用泰勒公式n阶展开
即f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(x0)(x-x0)²/2!++f＾(n)(x0)(x-x0)＾(n)/n!+0x
f＾(n)(x0)表示f(x)在x0处的n阶导数0x表示比(x-x0)＾(n)更高阶的无穷小
用拉格朗日型余项表示则0x=f＾(n+1)(ζ)(x-ζ)＾(n+1)/n+1!
而麦克劳林公式是泰勒公式在0点展开的特例
泰勒公式可以很容易的让你得到f(x)展开式中关于x的幂次项的系数,也可由已知的函数的导数值推出原函数多用于求极限问题
比如求lim
(e＾x-x-1)/x²在x趋近于0时的极限
f(x)=e＾x在x=0处二次展开=e＾(0)+e＾(0)(x-0)+e＾(0)(x-0)²/2!+0x
=1+x+x²/2;
那么lim
(e＾x-x-1)/x²=lim
(1+x+x²/2-x-1)/x²=1/2答案补充
用导数定义去理解
f’(x)=lim
[f(x)-f(x0)]/(x-x0)其中x->x0
那么就有当x->x0时lim
f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0)
lim
f(x)=f(x0)+f’(x)(x-x0)
lim
f(x)其于f(x)的误差拉格朗日型余项为f＾(2)(ζ)(x-ζ)＾(2)/2!是(x-x0)的高阶无穷小，一般用于证明题

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