如何证明级数∑sinnxn对于一切x属于0到2π不一致收敛

令f(x)=(pi-x)/2，0<x<2pi，那么 可以验证∑sinnx/n 是f(x)的在R上周期为2pi的延拓函数的傅里叶级数。
注意这里面的f(x)的延拓函数不是一个连续函数，特别的在0和2pi处不连续，所以∑sinnx/n在[0,2pi]上不可能是一致收敛的，否则矛盾。

第一个是一致收敛的，因为|sin(nx)/n^2|<=1/n^2，所以对于任意的x，我们有余项求和
∑|sin(nx)/n^2|<=∑1/n^2这里面是从n=K开始求和的，当K充分大时, 这个余项充分小，并且显然 k不依赖于x，所以一致收敛。
第二个不是一致收敛。用反证法。
令f(x)=∑x/(1+x)^n显然 f(0)=0；若x不等于0，由于 这是一个等比级数，我们有求和
f(x)=x∑1/(1+x)^n=x{1/(1+x)/[1-1/(1+x)]}=1，即：f(x)是这样一个分段函数f（x）＝0当x＝0时；而f（x）＝1当x＞0时。所以如果这个函数项级数一致收敛的话，它应当收敛于一个连续函数，矛盾！

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